前一段时间看了李永乐老师的视频，谈到了卷筒卫生纸长度的计算方法。看了以后很受启发，今天我们继续探讨这个话题，并把它拓展到平面等距螺旋线长度的计算。
卷筒卫生纸
卷筒卫生纸的长度该如何计算呢？李永乐老师是从侧面积的计算入手来解决问题的。卫生纸有两个相同的侧面，形状都是圆环，计算这个圆环的面积很简单，套用公式就行了。请看圆环的面积计算公式：
S=π（R²-r²）
这个公式就是说一个圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积。公式中的S代表圆环面积，R是外圆半径，r是内圆半径。
卫生纸可以展开拉直，这时它的侧面形状从圆环变成了一个长方形，长方形的长就是我们想知道的未知数L：卫生纸的长度，宽就是卫生纸的厚度。在这个变形过程中，侧面形状虽然从圆环变成了长方形，但是面积不变，于是可以根据这个等量关系列方程求L：
π（R²-r²）=L·W
方程式中的W代表长方形的宽。把方程式变形一下：
L=S/W 【S=π（R²-r²）】
所以，只有知道了卫生纸外圆、内圆和厚度这三个数据，就能够求出长度L。
其实，这个问题的本质是求平面等距螺旋线的长度。
先看看我们在生活中遇到的这种螺旋线。
一盘蚊香
生活中很常见的蚊香就是平面等距螺旋线的实物化。这种螺旋线的长度应该怎么计算呢？我们的思路是从简单到复杂，从易到难。先谈谈怎么计算同心圆的周长。请看下图：
等距同心圆
这个同心圆的周长计算很简单，把每个圆的周长算出来再相加就完事了。下图是我们在生活中常见的同心圆的实物化形象。
飞镖靶盘
同心圆可以转化为螺旋线。请看下图：
一组等距同心圆变形为两条等距螺旋线
从上图可以很直观地看出，一条通过圆心的直线将同心圆分为上下两部分，将下半部分平移一个螺距，我们就得到了两条等距螺旋线。平移后的结果可以展示为很形象的具体实物，请看下图:
两盘蚊香
再看一下软件绘制平面等距螺旋线的绘图过程，请看下图：
图1
AI绘制等距螺旋线
Adobe illustrator，常被称为“AI”，是一个矢量图创作软件。看了上图，对我们探索平面等距螺旋线长度的计算方法很有启发。
明白了同心圆能够变换为螺旋线，一个最简单有力的计算方法呼之欲出：一条平面等距螺旋线的长度=对应的一组同心圆的周长之和的一半。换句话说，所求螺旋线长度=对应同心圆半圆弧长之和。
如果掌握了计算卷筒卫生纸长度的方法，那么计算快递粘胶带、电工常用的绝缘粘胶带、卷筒运输皮带等的长度也不在话下。
一组等距同心圆中，相邻两个圆的半径之差如果称为螺距，那么同心圆变形而成的等距螺旋线相邻两圈的半径之差也称为螺距。
计算卷筒卫生纸的长度这个问题的本质是求平面等距螺旋线的长度。这条螺旋线的螺距就是卫生纸的厚度。卫生纸的侧面是圆环，圆环的内外圆半径之差称为环宽。卫生纸在内芯芯筒上绕一圈，也就是旋转360°可以称为一圈或是一匝。环宽=螺距×匝数。环宽和螺距都是已知数，那么匝数也能够算出来了。
一匝的螺旋线长度等于两个半圆的弧长之和，这两个半圆的半径之差是一个螺距。匝数增加就是螺距增加，从1个螺距到n个螺距，就是一个等差数列，公差是螺距。
下面我们来看一道例题，实际计算一卷包装卷膜的长度。请看下图：
自动包装机使用的光电卷膜
假设这卷膜的圆环形横截面内圆半径是5cm，外圆半径是23.112cm，卷膜厚度是0.008cm，求卷膜长度是多少米？
我们用Excel来计算。环宽=外圆半径-内圆半径=23.112-5=18.112（cm），螺距=卷膜厚度=0.008（cm）
第一个半圆周长到第四个半圆周长（cm）分别是15.70796， 15.7331， 15.75823 ，15.78336。第2265个半圆周长是72.6084893267948，求和为100018.3825（cm），约等于1000米。把这2265个半圆依从小到大的顺序连续地缠绕在内芯卷筒上，就是这卷光电膜的实际长度。
这圈膜以三面封的形式制袋，按每个小袋袋长9.5cm计算，可以制100000÷9.5=10526.3158袋。这卷膜用了一部分没有用完，我们想知道还剩余多少米的长度，那么可以测量环宽，在刚才编制的Excel表格中查找数据，就能够知道卷膜的长度了。
补充一个计算卷膜长度的简单方法。请看下图：
塑料材质简介
在图中查看你要计算的卷膜是什么材质，相应的比重是多少。下图对你的判断可能有帮助。
常见塑料袋的材质
只要知道了卷膜的比重，就可以称重量计算体积，算出体积就自然能够求出卷膜的长度了。
更简单的方法是称卷膜的毛重，即卷膜本身重量加上内芯卷筒的重量，再减去内芯卷筒的重量得到卷膜的净重。卷膜的净重和卷膜长度成比例，用这个比例就能够计算出卷膜长度。
在测量环宽时，必须找准圆心，否则测量数据不准确导致计算出现较大误差。现在补充介绍一个知识点：已知一个弓形，如何找圆心，计算半径、圆心角、弧长和面积等。请看下图：
图中黄色部分就是弓形
圆的一条弦把圆分割为两个部分，只要这条弦不是直径，那么这两部分面积不相等，包含圆心的那部分是个弓形，由一段优弧和弦组成；不包含圆心的那部分，是我们最常见的弓形，由一段劣弧和弦组成。一般而言，我们所指的弓形，就是不包含圆心的那个弓形。
相关计算公式见下图：
弓形相关数据计算公式
图上的弓形，如果我们知道弦长s和高度h，就能够求出圆的半径。计算的依据是圆的相交弦定理。
设P是圆内一点，弦AB和弦CD相交于点P，则有AP·PB=CP·PD
请看下图：
弓形已知弦长和高度找圆心计算半径示意图
在弓形CED中，已知弦长CD和高度EF，就可以求出半径R。直径BE垂直平分弦CD，根据相交弦定理，CF·FD=EF·FB，如果我们设圆的半径为R，弦CD的长度为B=2A，弓形高度EF为h，则可以推导出计算半径的公式：
A²=h(2R-h)=2Rh-h² ∴R=(A²+h²）/2h
计算实例如下：
计算实例
如图，已知弓形AHB的弦长AB=16，高度CH=4，代入公式计算可得
R=（8²+4²）/2·4=80÷8=10
设:弓形的弦长为b，弓形的高为h, 半径为: R, 弧长为: L, 圆心角为: θ,
计算圆心角的公式为：
θ=4arctan(2h/b).(单位为：弧度).
计算弧长的公式为：
L=2πR*( θ/360)
弧度和角度的转换公式：
弧度记为rad，角度记为deg，1πrad=180°，2πrad=360°
1rad=180°/π（约等于57.29577951°）
公式见下图：
角度和弧度转换公式
计算举例：
31°6′等于多少弧度？
一度=60分，1分=60秒，π弧度=180°，所以
31°6′=[31/180+6/(180×60）]π
=311π/1800(弧度）
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。