在很多教科书教复杂曲线下与横轴的面积时都有抛物线y=为例，来演示如何用极限的方法求面积，以此说明用定义来确定定积分的概念。如图：求抛物线y=与x轴在0≦x≦2区间内的阴影面积。
如果直接用定积分的定义， 和容易求出：
但定积分的引入时通过极限的方法，利用黎曼的面积累加得出的。
如果我们把[0，2]之间平均分成n段，每段是一个小长方形,面积为f(xi)△x，则当n趋近无穷大时，累加f(xi)△x所求的面积就是阴影面积。
因为：
所以：
上面用到了如下的连续自然数平方和的公式：
当n→∞时有：
下面给出连续自然数平方和的公式证明。
当你下次再看到用黎曼求和的方法计算面积，涉及到二次曲线下的面积要引用自然数平方和的公式，你也可以自己推导了。