棱垂直三棱锥的特性与应用
1.基本定义：
棱垂直三棱锥是由一个棱垂直于底面的三角形和一个共同的顶点连接而成的四面体。在这个四面体中，底面的三个顶点和顶点共面，而这个共面的三角形就是底面。
如下图所示，其中底面为ABC，D为顶点，AD为高。
2.主要性质：
2.1周长、表面积和体积：
设棱长为a，高为h，则该棱垂直三棱锥的表面积和体积分别为：
S=0.5ah+abc，其中b为底面的中线长；
V=(1/3)ahc。
值得注意的是，这两个公式可以通过勾股定理推出。具体而言，若已知底面三边的长为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则可令h=c，代入上述公式中即可得到相应的结果。
2.2对角线长度：
设三角形底面顶点为A，对面点为E，则该棱垂直三棱锥的距离为AE=sqrt(a^2+h^2)，底面对角线长度为AC=sqrt(a^2+b^2+c^2)；而四面体对角线长度则为AD=sqrt(b^2+4h^2/9)。
2.3相交截面：
假设某平面P与该棱垂直三棱锥相交产生的截面为多边形MNPQ，则四个顶点的投影点M'、N'、P'、Q'在同一直线上。
这个性质的应用十分广泛。例如，经常用来证明平面与棱垂直三棱锥交线的性质，以及在数学竞赛中的计算几何及复合几何问题。
3.应用举例：
3.1棱垂直三棱锥的计算题：
已知底面为直角边分别为3和4的直角三角形ABC，顶点到底边的距离为5，求该棱垂直三棱锥的体积和表面积。
解：
由勾股定理得，该底面三角形的斜边长为5。
由于该三角形是等边数列，且分别与底面的另两条边垂直，则可推出对应的棱长分别为3√3和4√3。
这样，就可以代入公式进行计算，得到该棱垂直三棱锥的体积为25√3/3，表面积为35√3。
3.2棱垂直三棱锥的应用题：
某水总公司欲在某个空间建造水塔，为充分利用该空间，设计了一个在底为正方形、高为10米的棱垂直三棱锥中装满水。已知水的密度为1000kg/m^3，求此水塔的总质量。
解：
设底面边长为a，则可计算出该棱垂直三棱锥的体积为V=(1/3)a^2*10，由此得到该水塔内水的质量为m=V*p=(1/3)a^2*10*1000=3333a^2kg。
最后，就可以根据实际的底面边长a来计算此水塔的总质量。
4.总结：
棱垂直三棱锥是几何中的重要概念之一。除了具有诸多基本性质外，还广泛应用于计算几何、复合几何等领域，并在实际生活中有着重要的应用价值。因此，对棱垂直三棱锥的理解与掌握，对于进行几何学习的学生以及从事相关领域的人员来说，都具有十分重要的意义。