这是指数函数和幂函数之间比较大小的问题。指数函数e^x中e>1，在R上无上界，单调递增。而幂函数x^2为标准二次函数，在正实数上也无上界且单调递增。
要比较这两个增函数，就要看二者增长的速度，我们可以通过图象来观察，易看到e^x的图象爆炸式增长，即e^ⅹ>x^2，如下图:
今天我要用数学归纳法来比较它们的大小。
由于是在正整数范围内比较二者大小，我们易知:
①当x=1时，e^ⅹ=e^1=e≈2.718，x^2=1^2=1，显然e^x>ⅹ^2 。
②当x=n时，不等式e^x>x^2成立，即有e^n>n^2。
③当x=n+1时，有e^(n+1)=e^nxe，而(n+1)^2=n^2+2n+1=n^2ⅹ(1+2/n+1/n^2)=n^2x(1+1/n)^2，
当n≥2时，(1+1/n)^2≤(1+1/2)^2=2.25<e，(当n=2时，1/n的最大值是1/2)。而由假设知e^n>n^2，
所以，当n≥2时，e^(n+1)=e^nXe>n^2X(1+1/n)^2=(n+1)^2，即e^(n+1)>n^2。
因此，由数学归纳法知，当X为正整数时，e^ⅹ>x^2恒成立。
事实上，数学归纳法是数学上常用的证明方法，在命题中出现正整数时，一般要考虑使用数学归纳法。