迭代版本：161
本文，将会通俗易懂地介绍——量子态、波函数与粒子自旋的概念和图像，它们对于理解微观世界的奥妙（难以理解）与玄妙（难以想象），有着十分重要且基础的作用。
相信通过本文的描述，可以建立起对微观粒子世界，更清晰深刻的理解和认知。
主题目录如下：
什么是量子态什么是波函数量子态与波函数什么是粒子自旋自旋图像自旋是如何发现的不同自旋的含义复合粒子的自旋结语后记：自旋与化学的微妙关系什么是量子态在量子力学中：
量子态——是由一组量子数所确定的微观状态。量子数——是表征微观粒子运动状态的一些特定数值。量子——是不可分割的最小量（如光量子即光子，是光的最小量）。量子化——就是存在非连续，呈现离散数值的最小量（量子）。表征——是指用信息描述某一事物的状态，即：信息符号可以代替某一事物本身。
量子态中的每种量子数，都是量子化的非连续数值，其取值只能是“某个最小量”的整数或是半奇数倍，这个最小量就是量子，其数值与普朗克常数有关，即以普朗克常数为单位，而一个量子化的系统，至少需要一个量子数。
普朗克常数——可以理解为“作用量”的单位，即：能量 * 时间 = 动量 * 位移 = 普朗克常数的倍数。
作用量（Action）——是一个物理系统内在的演化趋势；如一段运动的作用量，是动能与势能之差对时间的积分；其数值为，能量 * 时间（S = Et）或动量 * 位移（S = px），单位和普朗克常数一样（S = kh，k是倍数，h是普朗克常数）。
需要指出的是，光子碰巧是基本粒子，但并不是说量子就是基本粒子，只要是最小量即可——就如自旋角动量是最小量h / 2π的倍数，那么最小量h / 2π就是量子，这个量子的倍数就是自旋量子数，即量子数以量子为单位——不过，如果把基本粒子看成“小份能量”的同义词，那么视其为量子的近义词也未尝不可。
h / 2π——称为约化普朗克常数，h是普朗克常数，又写作“ℏ”，读作“h拔”。
量子数的数值，物理上代表着粒子可观测到的状态量，而在未观测之前，这些数值出现的可能性是叠加和纠缠的，其中：
叠加——是指量子数的数值是不确定的，每个数值出现的可能性，都是一个概率，于是不同数值出现的概率，就可以叠加在一起，其总和是100%。
例如，自旋量子数，可以上自旋出现的概率是50%，下自旋出现的概率是50%这样——上下自旋是Z轴上的方向，自旋在XY轴上也存在，即：X是左右自旋，Y是前后自旋——而上下自旋，就是量子数的两种数值，对应了两种量子态。
例如，薛猫的生死状态，如果由一个量子数来决定，那么量子数不同的数值，就代表了“生”的概率与“死”的概率，而在观测之前，薛猫就是处在了量子数“生死数值”的叠加态。
纠缠——是指一个量子数在不同的子系统上，其不同的数值仍然会相互协调，表现为一个数值在子系统上确定，那么与其叠加数值，在其它子系统上也会“瞬间”确定。
例如，一个自旋为0的粒子，衰变成了两个纠缠粒子，每个粒子都是上下自旋的叠加态，如果一个粒子被确定是上自旋（即随机到50%），那么另一个纠缠粒子不用测量（即不用在50%中随机）一定是下自旋——因为自旋会保持角动量守恒。
这就意味着，粒子的量子态是可以叠加和纠缠的，也就是通常所说的——量子叠加态与量子纠缠——前者就像是“上帝的骰子”，后者就像“上帝的意志”（即捉摸不定的运气）。
实际中，量子数有很多种，其中自旋量子数，也就是粒子自旋，而在描述原子核外电子运动状态时，有四种量子数：
主量子数（轨道能量层级，确定电子能级大小，正整数）。角量子数（轨道空间角动量，确定电子云形状，正整数）。磁量子数（轨道角动量的投影，确定电子云方向，整数）。自旋量子数（自旋的方向，确定电子自旋方向，半奇数）。例如，下图展示了氢原子的电子图像，包含了主量子数、角量子数、磁量子数——由于自旋量子数没有空间可见性，所以没有体现在图像中。
氢原子的电子云，右下角数字代表的是（主量子数，角量子数，磁量子数）对应（1能级，2形状，3方向），1代表不同的范围大小，1相同2代表不同的形状，2相同3代表不同的方向所看到的相同形状，图片来自维基百科（Wave function）
其它还有一些味量子数（Flavour），如重子数、轻子数、奇异数、同位旋等等，那么多个量子数就可以共同描述一个量子态，其中每个量子数在观测之前都是概率叠加，所以在观测之前，量子态就是多个量子数所有概率的叠加。
也就是说，用多个量子数每个可能的数值，进行排列组合（即数量相乘得到组合数，可见量子数必须是离散的），而每个组合都对应一个量子态的概率（即由组合中每个量子数的概率相乘得到），所有这些量子态的概率是叠加的，其总和是100%。
最后，量子态涉及到一个——泡利不相容原理（Pauli Exclusion Principle），即：自旋半奇数的粒子（即费米子），其组成的系统，不能有两个或两个以上的粒子，处在相同的量子态；而自旋整数的粒子（即玻色子），其组成的系统，则可以有多个粒子，处在同一个量子态。
也就是说，费米子系统——不能有全同粒子，量子态可计数；玻色子系统——可以有全同粒子，量子态不可计数。
量子态相同，就没有办法计数的原因在于，粒子没有明确的轨道，由于不确定性原理，它可以出现的位置是“概率云”，所以就没有办法追踪多个相同量子态中的一个，即不能给相同的量子态“编号”，这样多个相同的量子态就没办法区分，只能算一个，同时测量还会改变全同粒子的量子态，使其变得不同。
什么是波函数在数学上，描述量子态的函数，就是——波函数，它是时间和空间的复变函数，其空间参数，是位置XYZ方向的三维组合，即ψ(x, y, z, t)，其结果是复数（也看成是复向量空间的向量），而它的表达式，是在具体的微观条件下，由相应的薛定谔方程解出的。
复变函数（Complex Function）——是指以复数作为自变量和因变量的函数。
从某种角度说，薛定谔方程描述了粒子（包括原子及亚原子），其能量与动能、势能的关系，即：总能量 = 动能 + 势能——方程可以描述一对多的关系，函数只能描述一对一的关系——而薛定谔方程解出的波函数，则描述了粒子，其状态与时间、空间的映射关系，这个映射关系在薛定谔方程中，就决定了粒子能量随时间的演化，即：
总能量 * 波函数 = 动能 * 波函数 + 势能 * 波函数。
需要指出的是，如果粒子的总能量是一个定值，即总能量不随时间演化，这样的粒子状态就被称为“定态”，那么描述定态的薛定谔方程就不含时间，所以就被称为“定态薛定谔方程”。
例如，原子内部的电子，就具有确定的能量状态（即定态），它可以被定态薛定谔方程描述。
薛定谔方程——iℏ * (∂t)ψ(r, t) = (-ℏ^2 / 2m) * (∂r^2)ψ(r, t) + V(r, t) * ψ(r, t)，i是虚数，ℏ约化普朗克常数，r是XYZ坐标，t是时间，∂t是波函数在t方向上的偏导，∂r^2是波函数在XYZ三个方向上的二阶偏导再求和，m是粒子质量，V是粒子势能。
方程等式的左边是总能量，右边是动能和势能，即：总能量（波函数关于时间的变化，∂t）= 动能（波函数关于空间的变化，∂r^2）+ 势能（波函数所在场的变化，V）——可见方程中，没有一阶以上的变量（线性）且有未知函数（波函数）及其二阶偏导（微分），所以它是一个线性二阶偏微分方程。
定态薛定谔方程——Eψ(r) = (-ℏ^2 / 2m) * (∂r^2)ψ(r) + V(r) * ψ(r)，E是粒子的总能量是一个定值，定态方程不含时间，也就是假设势能V(r)和波函数ψ(r)都与时间无关，即不随时间变化，这种不含时波函数称为定态波函数，但其仍具有波动性，代表了粒子自身与时间无关的空间波动性。
事实上，量子力学中的薛定谔方程，就像是经典力学中的牛顿方程，它的表达式来自牛顿方程的“粒子化”，整个方程建立在各种假设之上，其正确性由实验保证，并且它只适用于低速的非相对论粒子（狭义相对论），也不包含自旋描述——当涉及到相对论效应与自旋时，由狄拉克方程描述（其中也有波函数），可见狄拉克方程就像经典力学中的狭相方程。
有趣的是，“波函数”起初只是一个数学函数，虽然物理学家薛定谔，通过假设“凑出”了薛定谔方程，但他并没有“理解”波函数，而是物理学家玻恩，对波函数做出了正确的“概率诠释”，或说“统计诠释”。
需要指出的是，物理学诠释只是对“真理”的一种解释，而解释可以有很多种，所以物理学诠释并不唯一，但得到共识且符合实验观测的诠释，就可以获得诺贝尔奖，如玻恩对波函数的概率诠释。
相比解释（Explain），诠释（Annotation）不仅说明原因关联，还具有某种代表性的独特理解。
那么，之所以称之为波函数，是因为薛定谔方程在数学上，是一种类型的波动方程，而波函数又产生并解释了粒子的波粒二象性，所以描述量子态的函数，其实是在描述一种“波”。
在物理上，波函数的图像，即ψ(x)，就代表了粒子位置的概率分布（类似正弦波的形状），其模平方，即|ψ(x)|^2，就是粒子位置的概率密度，而通过概率密度可以得出，粒子在某位置的概率。
需要指出的是，波函数的物理意义——是量子力学（哥本哈根学派）的一个基本假设，不需要推导，也不需要解释，只需要默认接受即可。
换言之，波函数是粒子的概率分布函数，取值为复数，物理意义为概率幅度（Probability Amplitude）；波函数的模平方是粒子的概率密度函数，取值为正实数，物理意义为区域概率。
纵轴是波函数的实部，蓝线是概率幅度，红线是区域概率，红色透明度代表了粒子在x位置出现的概率，图片来自维基百科（Wave function）
概率分布函数——取值是小于某值的概率，如：P = F(b)，这个概率是小于某值（b）的概率累加，那么它可以计算某个区间的概率，如：P = F(b) - F(a)，而区间斜率越大，说明概率的变化率越大，即F(b) - F(a)越大，也就是概率越大，这个变化率（或说导数）就是概率密度。
概率密度函数——取值是概率的变化率，那么它在某个区间的面积越大，就是随机到其中的概率越大，也就是概率密度的面积（或说积分）是某个区间的概率分布，而这个变化率越大，如f(a)越大，表明在该点（a）附近的概率越大，但不是该点（a）的概率越大，不过这个变化率可以理解为，在该点（a）无穷小区域内的概率。
复数的模——就是系数平方和的平方根，如：|a + bi| = |a - bi| = sqrt(a^2 + b^2)。
从物理角度绘景，波函数就像是一个“复数场”，场里的每一个复数都是波的幅度，其模平方是波的概率，其方向（即复向量的向量角）是波的相位。
相位（Phase）——就是一个波，其循环中的位置，如：波峰、波谷、或是峰谷之间某个点的标度。
需要注意的是，波函数的干涉叠加，是概率幅度的叠加，而不是概率（即模平方）的叠加，两者是有区别的，即：“先相加再模平方”与“先模平方再相加”的区别；如：|0.1 + 0.1|^2 = 0.04与|0.1|^2 + |0.1|^2 = 0.02的结果是不一样的。
综上可见，波函数就是粒子所具有的概率波动性，因此波函数也被称为——概率波，或波粒二象性中的物质波。
量子态与波函数具体来说，量子态与波函数有着微妙的关系，即：
量子态在数学上称之为“态向量”（State Vector，或称“状态向量”），它是复向量空间上的一个复向量——关键在于，态向量（即量子态）在被波函数描述之前，是“不可见”的，这就像一个向量必须被投影到坐标系上，才能描述出来被“看见”——可见波函数，其实是量子态（即态向量）在坐标系上的投影。
需要指出的是，物理上的矢量就是数学上的向量，矢量存在于真实空间，向量存在于数学空间，所以态向量在物理上被称为“态矢量”，而由于态矢量（数学抽象）必须由波函数（坐标表象）描述，所以波函数也被称为“态函数”，态矢量则可以简称为“态”。
换言之，量子态这个向量，在某些基底（即基向量）方向上的投影，就是波函数，所以波函数也是一个向量（可以用一维矩阵表示这个波函数向量），只不过这个向量具有概率波动性——其模平方就是，粒子在此向量处出现的概率，而这个向量可以看成是，波函数“波形图像”的相位。
那么显然，一个向量可以由多个基底方向上的向量来线性叠加组合，所以一个量子态就可以由多个波函数线性叠加组合来描述，而每个波函数都是一个量子态的投影，这意味着一个量子态可以由多个量子态线性叠加表示，即：量子叠加态（它是薛定谔方程的一个解）。
需要注意的是，波函数ψ(x)所有的取值，都是其向量的分量，每一个分量也是向量——分量代表了波函数“波形图像”上某处的幅度和相位——如果有无穷多个分量（如位置坐标），叠加态就要使用积分代替求和。
可见，波函数蕴含了所有可能的状态，每一个状态都是一个向量，而所有这些向量之和，则就是“波函数向量”。
例如，量子态ψ，由量子态ψ1和ψ2叠加，即：|ψ> = a|ψ1> + b|ψ2>，符号“| >”中的ψ、ψ1、ψ2只是一个名称用于标识量子态、量子数或物理操作等，而每一个“| >”都是一个基底量子态，前面的系数a、b的值是复数，也就是波函数对应的取值，所以系数就是波函数，代表了这个量子态出现的概率。
量子态的符号——量子态ψ，用右矢“|ψ>”或左矢“<ψ|”表示，由于其数值是一个复数，所以右矢和左矢就是共轭复数，即实部相同且虚部不同的复数，而从向量角度看，右矢|ψ>是一维列向量，左矢<ψ|是一维行向量。
需要指出的是，基底量子态又称为“本征态”（Eigen State），通俗地说，就是可以被观测到的量子态，从这个角度看，量子叠加态就是——任意多个可以被观测到的本征态的系数线性叠加（也就是波函数的线性叠加），并且所有系数对应的概率相加必须得到100%，即：实际中必须要能（也只能）观测到，任意多个本征态中的某一个。
需要注意的是，波函数虽然是复数，但其投影的本征态的复数轴可能为0（即与复数轴垂直），此时这个本征态对应的系数（即波函数、复数、向量）就没有虚数i。
例如，|薛猫生死态> = a|生的本征态> + b|死的本征态>，其中a（波函数、复数、向量）决定了生的概率，b（波函数、复数、向量）则决定了死的概率——如果生或死的概率都是50%，那么a = 1 / sqrt(2)，b = i / sqrt(2)，|a|^2 + |b|^2 = 1，这里假设要求本征态的概率之和是100%——如果是两个波函数的干涉叠加，则其概率是|a + b|^2，而不是|a|^2 + |b|^2。
本征（Eigen）——就是事物本身的特征。
在数学上，可用公式表达，即：pf = cf，p是操作，f是映射，c是常数，意思是一个映射的操作结果等于这个映射的常数倍，可见这个操作的效果就是常数倍的缩放，所以常数（c）就是操作（p）的本征值（Eigen Value）。
在物理上，操作p就是一种物理变换（也称算符），映射f（数学上称算子）可以是函数（态函数）或向量（态矢量），所以可以称之为本征态（Eigen State）或本征向量（Eigen Vector），可见本征态和本征向量经过算符的操作，只是缩放其状态和方向不变。
事实上，波函数也可以用量子态的符号表示，那么上述量子态叠加就可以写成：|ψ> = |a> <a | ψ> + |b> <b | ψ>，其中<a | ψ>就是量子态ψ在本征态a方向上的投影，<a | ψ>就是波函数ψ(a)，其模平方就是量子态ψ在本征态a方向上出现的概率。
所以，波函数有两种表示形式：
从ψ(x)函数形式看——是将x映射到一个复数；从<x | ψ>量子态形式看——是将量子态ψ投影到本征态x。而向量的投影，其实就是向量的内积，因此<x | ψ>就是量子态ψ与本征态x的内积——可见波函数ψ(x)，就是向量内积的产物。
那么，如果x不是本征态，而是另一个量子态ψ2 ，此时<ψ2 | ψ1>就表示波函数ψ1和波函数ψ2的内积，意思是量子态ψ1坍缩到量子态ψ2的概率（这是玻恩规则，量子力学的一个基本假设），其结果仍然是一个波函数、复数、向量——自然也是量子态ψ1到量子态ψ2的投影。
但一个波函数与其自身（共轭复数）的内积，就表示其模平方，即：<ψ | ψ> = |ψ|^2，意思是（前面所说的）量子态ψ的概率密度，其结果是一个正实数——可以理解为，自身的投影就从“复数世界”投影到“实数世界”去了。
而如果一个波函数，是叠加态（或称混态）则<ψ | ψ> = 1（这是量子力学的一个基本假设，即这个向量的空间内积被归一化），是非叠加态（或称纯态）则<ψ | ψ>小于1，表示叠加态（如薛猫生死态）在某个本征态（如薛猫生的态）上的投影概率。
回到量子数的角度，一个粒子的量子态，可以由多个量子数描述，所以波函数其实是描述了多个量子数叠加的概率分布，如：ψ(r, p, E, s, t)，r是位置，p是动量，E是能量，s是自旋——这相当于，将连续（如位置）和离散（自旋）的变量都放到了一个多维向量中来描述。
换言之，波函数可以给出特定“位置、动量、能量、自旋”状态粒子的概率分布——其概率依然是波函数的模平方，即：|ψ(r, p, E, s, t)|^2——事实上，所有的量子数都与“位置、动量、能量、自旋”有对应关系，因此波函数就可以描述所有的量子数。
需要指出的是，在数学上，函数的一个参数就是一个维度，而超过四维参数（即三维位置和一维时间）的超空间，都可以投影到四维的位置空间或动量空间。
因为，时间与能量有对应关系（时间平移对称性的守恒量是能量），空间与动量有对应关系（空间平移对称性的守恒量是动量）——别忘了，物理系统的演化，可以用“作用量”描述，而作用量 = 能量 * 时间 = 动量 * 位移 = 普朗克常数的倍数——所以波函数可以写成，随时间与能量变化的位置函数（对应位置空间）与动量函数（对应动量空间）。
那么，观测一个粒子的量子态，就相当于获取了粒子的量子数，于是波函数对应的概率密度，就会坍缩到一个确定的点上，即概率随机出结果（观测到本征态），这也就是——“波函数坍缩”，而此时，波函数就演化成了一个“确定态”的函数（不再具有“叠加态”），于是粒子的波动性也就变成了粒子性。
最后，总结一下，量子态是一个数学抽象，需要用波函数具体描述（表示），那么：
在数学上，波函数映射了，复数（函数值）与时间、空间（函数参数），其图像是一个波形，而将复数看成复向量空间的一个复向量，则波函数代表了所有映射向量的叠加向量，即态向量（也是一个复向量）。在物理上，波函数映射了，粒子状态的概率幅度（函数值）与时间、空间（函数参数），其图像是一个概率分布，而将概率幅度的模平方看成是概率，则波函数包含了所有状态概率的叠加概率，即量子态（也是一个态矢量）。可见，数学描述了量子态（叠加向量），物理则诠释了量子态（叠加概率）。
什么是粒子自旋粒子自旋——是粒子的重要属性，可以用来对粒子的标识和分类，因为每个粒子都有特有的自旋，自旋数不同就是不同类别的粒子，性质也不同。
但粒子自旋，并不对应宏观上的物体自转，如：陀螺自转、地球自转——因为点粒子没有转轴以外的部分（其它点），也没有更小单元围绕质心自转。
所以，粒子自旋是唯象（Phenomenology）的描述，仅能将自旋视为一种内在性质，是粒子与生俱来带有的一种角动量。
角动量——是质点矢径扫过面积的速度大小，或是刚体定轴转动的剧烈程度 。
而自旋具有可观测的量子化数值——无法被改变，但其方向可以透过一些操作来改变，并且自旋（角动量）与方向（角度）遵循不确定性原理，即：自旋可以分解到XYZ坐标轴方向，每个方向的自旋就会此消彼长——也就是说，确定一个Z方向的上下自旋，就不能确定另外XY方向的自旋。
弦理论专家——布赖恩·格林（Brian Greene），在《宇宙的琴弦》中，指出：
“宇宙的每一个电子，总是永远地以固定不变的速率旋转。电子自旋不是我们习惯的那类物体偶然发生的短暂的旋转运动，而是一种内禀的性质，跟它的质量和电荷一样。如果电子没有自旋，它也就不是电子了。”
自旋图像一个自旋纠缠的光子，“翅膀”就是叠加态的自旋，图片来自影片《宇宙时空之旅：未知世界》
最后“翅膀”合并了，是量子自旋纠缠态坍缩了，图片来自《宇宙时空之旅：未知世界》
自旋是如何发现的首先，是在斯特恩-盖拉赫实验中（Stern-Gerlach Experiment），发现了银原子束经过不均匀磁场，产生了偏转，并最终在屏幕垂直方向上，形成了两个上下对称的非连续分布。
预期是一条线，实际是两个点，图片来自维基百科（Stern-Gerlach Experiment）
这里有两个奇怪的事情：
第一，为什么银原子电中性，会被磁场影响？
这是因为，银原子有一个非配对电子，这个电子绕着原子核的轨道运动，形成了闭环电流，而闭环电流会产生磁矩，正是这个磁矩，让银原子产生了偏转。
磁矩——就是磁场中的磁性力矩，方向垂直于线圈所在平面，且当电流方向为逆时针时磁矩为正，顺时针时为负。
需要注意的是，如果是均匀磁场，闭环电流的磁矩就是0，只有不均匀的磁场，才能产生垂直方向上的磁矩。
第二，为什么屏幕上，预期是连续分布，但实验结果却是非连续分布？
这是因为理论上，银原子电子的磁矩方向，是随机连续的，其取决于电子的轨道角动量——也就是说，电子云与垂直方向有一个随机连续的角度。
那么，拥有不同磁矩方向的银原子，进入不均匀磁场，就会有不同的固定偏转，而大量不同磁矩方向的银原子，最终在屏幕垂直方向上，就应该是随机连续分布的。
而实验结果表明，电子的轨道角动量不是连续的，而是量子化的，也就是电子云与垂直方向的角度只有两个固定值，所以银原子的磁矩就只有上下两个固定值。
但如果是这样，就会存在一个问题，就是根据理论：
轨道角量子数，只能是正整数，即：l = 0，1，2，等等中的一个。轨道磁量子数，受制角量子数，即：针对每一个角量子数l，磁量子数都可以取值为——从+l到-l之间的整数，如：l = 1对应1，0，-1；l = 2对应2，1，0，-1，-2——也就是有2l + 1个可能的数值，代表着磁矩可能的方向。那么在实验中，银原子的磁矩有上下两个，即：2l + 1 = 2得出l = 1 / 2，然而电子角量子数——并不能等于非正整数。
要解决这个问题，就可以假设电子自身，拥有一个半奇数（1 / 2）的自旋量子数，然后自旋角动量磁矩与轨道角动量磁矩，其“合磁矩”才是银原子（基态）的两个磁矩。
这等同于说，银原子角动量 = 电子轨道角动量 + 电子自旋角动量——于是，电子自旋就被引出了。
其次，在实验之后，物理学家狄拉克，用狄拉克方程解出了“自旋解”——它是狄拉克方程内在的数学要求。
至此，所有的粒子从理论上就都有了——自旋。
不同自旋的含义粒子的自旋角动量，是可观测的量子化数值，其值是——自旋量子 * 自旋量子数 ，其中自旋量子是h / 2π，而自旋量子数是整数或半奇数，可正负代表了不同的自旋方向。
自旋为0——粒子，从各个方向看都一样，就像一个点（如希格斯玻色子）。自旋为1——粒子，在旋转360度（1圈）后看起来一样（如光子、胶子）。自旋为2——粒子，在旋转180度（1 / 2圈）后看起来一样（如引力子，未证实）。自旋为1 / 2——粒子，在旋转720度（2圈）后才会看起来一样（如电子、中微子、夸克）。目前发现的粒子中——自旋为整数的，最大自旋为4，自旋为半奇数的，最大自旋为3 / 2。A中黑桃的方向360度还原，K中人物的方向180度还原，图片来自《物理史话》
事实上，自旋为s的粒子通常有2s + 1种自旋，如：自旋1 / 2的电子有2种自旋，自旋1的光子有3种自旋，自旋为0的希子（希格子玻色子）有1种自旋。
那么，对于自旋1 / 2，反映到波函数（即概率波的图像）上——就是粒子转一圈之后，波函数的相位会与原来的正好相反，只有转2圈，波函数才能彻底恢复原状。
当然，直接测量波函数的相位，是不可能的，但是我们可以测量相位差。 就像双峰干涉实验一样，相位差不同的两束波，叠加在一起会发生干涉现象。这样的话，通过干涉条纹的分布，就可以计算出相位差，也就可以证明粒子自旋，确实是1 / 2了。
不过，在现实中，物理学家费曼曾用水杯演示了，需要旋转2圈（即720度）才能复原的情况，如下图所示：
费曼的水杯自旋表演，360度到540度，需要手过头顶才能完成，图片来自科学网《统一路-7-奇妙的旋转2》
那么，对应到泡利不相容原理，在费米子系统中，粒子的量子态之所以不能相同，就在于费米子自旋整数圈不能对称，只有自旋半整数圈才对称。
这意味着，费米子波函数不具有交换对称性，只有交换反对称性，即：交换费米子位置，其波函数就会改变正负号。
因此，费米子波函数的对称中心点，就必须是0（否则就没有反对称性），而这个点，就是量子态相同的点，其出现费米子的概率是0，即：没有量子态相同的费米子。
对此，英国粒子物理学家——布莱恩·考克斯（Brian Cox），在《量子宇宙》中，指出：
“可以证明，自旋就是不相容原理的原因，因此也是原子结构之所以如此的原因……现在我们知道了，我们鞋的原子包含的电子与地面的电子，不仅是由于同性电荷相斥而相互推开；根据泡利不相容原理，它们也因自然的互相避开而排斥。”
可见，正是自旋带来的相互排斥力（即简并压力，Degeneracy Pressure），才使得原子具有结构稳定性，从而支撑了原子之上的结构稳定性——显然，这也是我们体内原子具有结构稳定性的原因所在。
复合粒子的自旋复合粒子，是由基本粒子构成的，基本粒子是不可再分的点粒子。这里不可分割的意思，是指没有体积与模型图像，无法检测到其内部结构，如：光子、电子和夸克。
那么，复合粒子的自旋——就是其内部各组成部分之间，相对轨道角动量和各组成部分自旋的向量和，即：按照量子力学中，角动量相加法则求和，如质子的自旋——可以从夸克和胶子的自旋得到。
结语综上可见，量子态通过多个量子数，描述了微观粒子的运动状态，量子数代表的，就是微观粒子，最小的不可分割的一个状态性质，可以称之为——“自由度”。
而自由度，可以理解为状态呈现的一些数值——这些数值是量子化的，即不连续、跳动、随机的，显然这是非常“自由”的，所以波函数也是自由度的函数。
在众多量子数中，自旋是所有微观粒子，所普遍共有的，那为什么所有的粒子都要自旋呢？
这和波函数坍缩一样，目前是一个未解之谜。
后记：自旋与化学的微妙关系我们知道，化学元素即是原子，而元素的化学性质，是由原子其核外电子的数量与排列，所决定的——于是，元素的化学性质，就和电子绕核运动所具有的能量，关联在了一起。
由前文可知，电子绕核运动的状态，由四个量子数来描述，即：主量子数（n），角量子数（l），磁量子数（m），自旋（s）——而它们之间约束关系，就决定了核外电子的数量与排列，即元素的化学性质。
具体来说：
n是电子的能级，取正整数，如：n = 0，1，2，3，等等。l是电子的形状，取正整数，且每个n对应[0, n-1]个l，如：n = 1对应l = 0；n = 2对应l = 0，1；n = 3对应l = 0，1，2；即：l = n。m是电子的方向，取整数，且每个l对应[-l, +l]个m，如：l = 0对应m = 0；l = 1对应m = -1，0，1；l = 2对应m = -2，-1，0，1，2；即：m = 2l + 1s是电子的自旋，取半奇数，固定对应两个数值，即：- 1 / 2与+ 1 / 2。那么，代入物理意义就是，电子在特定的能级（n）只能有数量有限的形状（l = n），在特定的形状（l）只能有数量有限的方向（m = 2l + 1），在特定的方向（m）只能有两个自旋数值——所以，m个方向就有2m个不同的电子。
于是，电子数量就被能级给固定了，即：电子数量 = 2m = 2(2l + 1)，且l = [0, n-1]，如：
能级n = 1则l = 0——可以容纳2个电子。能级n = 2则l = 0，1——可以容纳2 + 6 = 8个电子。能级n = 3则l = 0，1，2——可以容纳2 + 6 + 10 = 18个电子。类氢原子轨道，从上到下：能级大小n = 1，2，3；轨道形状l = 1（s轨道），2（s-p轨道），3（s-p-d轨道）；轨道投影方向m = 1s，1s + 3p = 4，1s + 3p + 5d = 9；自旋没有空间可见性，图片来自维基百科（Quantum number）
至于，为什么一个能级在一个形状和方向上，最多只能放2个电子——这是前文所提到的，泡利不相容原理的要求，即：电子的量子态不能相同，而电子自旋只有两个数值，来区分相同形状和方向上的量子态。
更为底层的一个原理是，万物总是趋向于处在最低能量状态——对原子来说，就是总是倾向于用电子填充其能级（否则就会增加其自身的能量），于是原子就会有动力与相邻的原子共用电子，而这就是化学作用的基础。
例如，氢原子外层n = 1能级有1个电子，但可以填充2个电子，于是它与另一个氢原子共用1个电子，就形成了氢分子H2。
例如，碳原子有两个能级，外层n = 2能级有4个电子（内层n = 1有2个电子，一共6个电子），但可以填充8个电子，于是再结合4个氢原子的电子，就形成了甲烷CH4。
例如，氧原子有两个能级，外层n = 2能级有6个电子（内层n = 1有2个电子，一共8个电子），于是再结合2个氢原子的电子，就形成了水H2O，而它也可以一对结合一个碳原子的4个电子，从而形成二氧化碳CO2。
可见，正是自旋决定了原子核外电子的排列方式，才形成了元素之间相互结合的驱动力，最终才形成了从氢、氧、碳、到水与基因，等大自然中的万物。