求：lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3
如果按照等价无穷小来替换的话
tanx~x, sinx~x
所以
lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3
=lim(x->0)(x-x)/x^3
=0
这是错误的用法
因为分子分母不同阶，用等价无穷小来替换的话“精度”不够，所以会造成错误
正确的解法是：
lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3
=lim(x->0)[tanx(1-cosx)]/x^3
=lim(x->0)tanx/x*lim(x->0)(1-cosx)/x^2
=1*1/2
=1/2
从上面的题目可以看出对于0/0型求极限用等价无穷小替换有局限性
因此引入了求(0/0型)极限的方法：洛必达法则
二、洛必达法则1、0/0型
若：(1)f(x),g(x)在x=a去心邻域内可导且g'(x)≠0
(2)lim(x->a)f(x)=0, lim(x->a)g(x)=0
(3)lim(x->a)[f'(x)/g'(x)]=A
则lim(x->a)[f(x)/g(x)]=A
证明：
令f(a)=0,g(a)=0，函数值对极限值无影响，所以可以取任意值
lim(x->a)f(x)=f(a)=0
lim(x->a)g(x)=g(a)=0
所以f(x),g(x)在x=a邻域内连续，去心邻域内可导且g'(x)≠0
所以f(x)/g(x)=[f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ),(ξ介于a与x之间)
所以lim(x->a)f(x)/g(x)=lim(x->a)f'(ξ)/g'(ξ)
x->a即ξ->a
原式
=lim(ξ->a)f'(ξ)/g'(ξ)
即证！
2、∞/∞型
若：(1)f(x),g(x)在x=a去心邻域内可导且g'(x)≠0
(2)lim(x->a)f(x)=∞, lim(x->a)g(x)=∞
(3)lim(x->a)[f'(x)/g'(x)]=A
则lim(x->a)[f(x)/g(x)]=A
证明方法同上。
例1：lim(x->0+)xlnx (0*∞转换为0/0型)=lim(x->0+)lnx/(1/x)=lim(x->0+)[(1/x)/-(1/x^2)]=lim(x->0+)(-x)=0
例2：lim(x->0+)x^sinx (0^0型=>e^ln**)=lim(x->0+)e^(sinxlnx)=e^lim(x->0+)sinxlnx=e^lim(x->0+)[lnx/cscx]=e^lim(x->0+)[(1/x)/(-cscxcotx)]=e^lim(x->0+)(sinxtanx/x)=e^-lim(x->0+)x=1