数的运算
一．四则运算及估算
1、四则运算：加法、减法、乘法、除法统称四则运算。
四则运算各部分之间的关系
1）加法和减法互为逆运算，可以互相转化：
和=加数+加数 加数=和-另一个加数
差=被减数-减数 减数=被减数-差 被减数=减数+差
2）乘法和除法互为逆运算，可以互相转化：
积=因数×因数 因数=积÷另一个因数
3）商=被除数÷除数 除数=被除数÷商 被除数=除数×商
4）在有余数的除法中，余数应比除数小
商=(被除数-余数)÷商 除数=（被除数-余数）÷商
5）被除数=除数×商+余数
和差积商的变化规律
和的变化规律：
(一)如果一个加数增加(减少)一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（减少）同一个数。
(二)如果一个加数增加(减少)一个数，另一个加数减少(减少)同样的加数，那么，它们的和不变．
(三)如果一个加数增加（或减少）一个数m，另一个加数增加（或减少）一个数n，那么，它们的和就增加（或减少） (m＋n)．
(四)如果一个加数增加一个数m，另一个加数减少一个数n，当m＞n时，它们的和就增加(m－n)；当m＜n时，它们的和就减少(n－m)．
差的变化规律
一)减数不变，被减数增加（减少）一个数，它们的差增加（减少）同一个数．
(二)被减数不变，减数增加（减少）一个数，它们的差就减少（增加）同一个数．
(三)被减数和减数同时增加（减少）同一个数，它们的差不变．
(四)被减数增加（减少）一个数m，减数减少（增加）一个数n，那么，它们的差就增加（减少）(m＋n)．
(五被减数增加一个数m，减数增加一个数n，那么，当m＞n时，它们的差就增加(m＋n)；当m＜n时，它们的差就减少(n－m)．
(六)如果被减数减少一个数m，减数减少一个数n，那么，当m＞n时，它们的差要减少(m－n)；当m＜n时，它们的差要增加(n－m)．
积的变化规律
(一)如果一个因数扩大m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大m倍．
(二)如果一个因数缩小m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也缩小m倍．
(三)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小相同的倍数，那么它们的积不变．
(四)如果一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n倍，那么，它们的积扩大(m×n)倍．
(五)如果一个因数缩小m倍，另一个因数缩小n倍，那么，它们的积就缩小(m×n)倍．
(六)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小n倍，那么，当m＞n时它们的积扩大(m÷n)倍，当m＜n时，它们的积就缩小(n÷m)倍．
商的变化规律
(一) 如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，那么，它们的商不变．
(二)如果被除数扩大(或缩小)m倍，除数不变，那么，它们的商就扩大(或缩小)m倍．
(三)如果除数扩大或缩小m倍，被除数不变，那么，它们的商反而缩小或扩大m倍．
(四)如果被除数扩大m倍，除数缩小n倍，那么，它们的商就扩大(m×n)倍．
(五)如果被除数缩小m倍，除数扩大n倍，那么，它们的商就缩小(m×n)倍．
(六)如果被除数扩大m倍，除数扩大n倍，当m＞n时，它们的商就扩大(m÷n)倍，当m＜n时，它们的商就缩小(n÷m)倍．
（七）如果被除数缩小m倍，除数缩小n倍，当m＞n时，它们的商就缩小(m÷n)倍，当m＜n时，它们的商就扩大(n÷m)倍．
估算:根据实际需要和算式中各数的特点进行估算时，一般是将其中的大数看做整十整百整千……的数，使原式通过口算便可求出得数。
定义新运算：指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，与四则运算中的加减乘除符号是不一样。
解题方法：解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义。然后严格按照新定义运算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。新定义的算式中有括号的，要先算括号里的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算的。
二．四则混合运算和简便运算
一级运算：加、减。二级运算：乘、除。
（1）同级运算的运算顺序：在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右依次计算。
（2）含量级运算的运算顺序：在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法、后算加、减法。
（3）含括号的运算顺序：算式里有括号（小括号或者中括号等），要先算小括号里面的，再算中括号的，后算括号外面的。
（4） 在四则混合运算中，要先确定运算顺序后再进行计算。
★小数混合运算顺序与整数相同。
运算定律：
1.加法运算律
（1）加法交换律：a+b=b+a
（2）加法结合律：a+b+c=a+（b+c）
2. 乘法运算律
（1）乘法交换律：a×b=b×a
（2）乘法结合律：a×b×c=a×(b×c)
（3）乘法分配率：a×(b+c)=a×b+a×c
3. 运算性质
（1）连减的性质：a-b-c=a-(b+c) 补充：a-(b-c)=a-b+c
（2）连除的性质：a÷b÷c=a÷(b×c) 补充:a÷(b÷c)=a÷b×c
（3）a×c-b×c=(a-b)×c
常用的简便运算方法
（1）把数化整。为了简便运算，把能凑成整十、整百、整千……的两个数先结合在一起相加减或相乘除，如25×4,125×8等这些特殊的数可以结合起来先计算。
（2）改变运算顺序或利用运算定律计算
（3）运用拆分法把把某些复杂的数拆分为简单的数，使之便于计算。
（4）把算式中某些相同特点的数结合在一起再计算，使计算简便。
三．整数、小数实际问题
分类知识
重点内容
注意事项
一般实际问题
根据题目中给定的条件，利用分析法，综合法解决题目中要求的问题。
归一类、归总类实际问题
1）归一类问题：先求出单位数量（如单价，工作效率等），再以单位数量为标准，计算出所求数量的解题方法叫归一法
2）归总类问题：先找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。
1）归一类问题：先求出1份是多少？
2）归总类问题：先求出总量是多少？
行程问题
1. 一般行程问题：路程=速度×时间
2. 相遇问题：速度和×相遇时间=路程
3. 追及问题：速度差×追及时间=追击距离
4. 过桥问题 路程=桥长+车长
路程÷速度=时间
5. 水中行船问题
顺水速度=船静水速度+水速
逆水速度=船静水速度-水速
船静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
和差、和（差）倍实际问题
1. 和倍、差倍问题：一直两个数的和（差）及两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的问题？
2. 和差问题：已知两个数的和以及两个数的差，求这两个数各是多少的问题？
和倍（差倍）公式：
和÷（倍数+1）=1倍数
差÷（倍数-1）=1倍数
和差公式：
（和-差）÷2=较小数
（和+差）÷2=较大数
分段计费实际问题
通过列表使已知问题和所求问题变得有条理，有利于解决问题。
四．分数、百分数实际问题
（一）一般的分数、百分数实际问题
1. 求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几），用除法计算。
2. 求一个数的几分之几（或百分之几）是多少，用乘法计算。
3. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算（求“1”）。
4. 工程问题：总工作量（一般用单位1表示），工作效率=1∕工作时间，
1÷（甲的工作效率+乙的工作效率）=甲乙合作完成工作的时间
（二）生活中的百分数问题
1、折扣问题
1.折扣问题。
(1)商店有时降价出售商品，通常我们把它称为“打折”，出售几折就是百分之几十，几几
折就是百分之几十几
(2)折扣题的基本数量关系式:原价×折扣=现价，现价÷折扣=原价，现价÷原价=折扣
2.利息问题
1)本金、利息、利率:存银行的钱叫做本金，取款时银行多支付的钱叫做利息。利息
与本金的比率叫做利率
(2)利息的计算公式:利息=本金×利率×存期
3.纳税问题
(1)应纳税额和税率:缴纳的税款叫做应纳税额。应纳税额与各种收入(如营业
中应纳税部分的比率叫做税率
2)应纳税部分的计算公式：应纳税部分×税率=应纳税额
4、利润问题
(1)成本、定价、利润、利润率:成本指购进商品的价格。定价指商家在成本的基上提高价格定出一个价出售。定价与成本之间的差额叫做利润。利润与成本的比率叫利润率
2)数量关系式:利润=定价一成本，利润率=(定价一成本)÷成本×100％
练习题
例一、在一个减法算式里，被减数、减数、和差相加的和是198，且差比被减数多13，这个减法算式是（ ）。
思路点拨：在减法算式里，被减数=差+减数，因比被减数等于被减数、减数与差的和的一半。求出被减数，也就是减数与差的和，根据差比减数多13，可知差=减数+13.根据和差问题的解题方法求出减数，再写出减法算式。
例二
(1)如果a÷b=c……d( a≠0,b≠0),那么10a÷10b=（ ）
(2)两个的积是0.85,一个因数扩大到原来的6倍，另一个因数缩小到原来的1/3，积是（ ）
（3)两个数相减，如果被减数加8.减数减少8，那么差应该是（ ）
(4)两个数相加,如果一个加数增加10,要使和增加2,那么另一个加数应该（ ）
思路点拨：此题考查的的是对和、差、积、商的变化规律的掌握情况
（1）被除数和除数同时乘10,商不变,还是C,但余数要扩大到原来的10倍
（2）一个因数扩大到原来的6倍，另一个因数缩小到原来的1∕3，则积扩大到原来的6×1∕3=2倍
（3）如果被减数增加8，减数减少8，则差增加8×2=16,即增加16
（4）一个加数增加10，和应该增加10，要使和增加2,那么另一个加数应该减小10-2=8
例三
1.六年级举行“小发明”比赛，六（1）班同学上交32件作品，六（2）班比六（1）班多交 ，两个班共交了多少件作品？
2.书店第一季度的营业额为15万元，第二季度的营业额为16.5万元。第二季度的营业额比第一季度增长了百分之多少？
3. A城开往B城的火车平均每小时行120千米，4小时可以到达；提速后，平均每小时比原来多行40千米，几小时到达？
4. 一种上衣原价为120元，现在按七折销售，便宜了多少元钱？
5. 河东区要修一条640米的景观大道，第一周修了这条路的"1/4" ，第二周修了这条路的20%，还剩多少米没修？
6.学生夏令营组织远足，原计划3小时走完11.25km。实际2.5小时就走完了原定路程。实际比原计划每小时多走多少千米？