第2讲 周期问题
一、专题简析
周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。
二、典例解析
例1 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？
分析与解答 根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。
练习1
1．跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？
2．有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？
例2 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？
分析与解答 （1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯；
（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），占总数的12/47；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的20/47；黄灯共有3×5=15（盏），占总数的15/47。
练习2
1．有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？
2．黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？
3．在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。这些同学中共有多少个女生？
例3 将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表？
A B C D E
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
… … … …
… … … …
分析与解答 这列数按每8个数一组有规律排列着。2001是这一列数中的第1001个数，1001÷8=125……1，即2001是这列数中第126组的第一个数，所以它所在的那一列是以字母B为代表的。
练习3
1，将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？
A B C D E
8 6 4 2
10 12 14 16
24 22 20 18
26 28 30 32
… … … …
… … … …
2，把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？
A B C D
1 2 3
6 5 4
7 8 9
12 11 10
… … …
… … …
例4 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如，第一组为（共，社），第二组为（产，会），那么第340 组是什么？
分析与解答
方法一：分开看。第340 组也是两个字，第一个字就是第一行的第340 个，第二个字就是第
二行的第340 个。分开计算。第一行周期为4：340÷4=85（组），“好”字。第二行，周期为5：340÷5=68（组），“好”字。
方法二：找最小公倍数。两行的周期的最小公倍数是4×5=20，即20 组是一个周期，340÷20=17（组），是最后一个，想想最后一个是什么呢？肯定是两行小周期各自的末尾——“好好”。
练习4
上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）。求第460组是什么？
例5 下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？
分析与解答：因为每相邻的3个数字之和为17，从左数起第一位数字与第二、三位数字之和为17，第二、三位数字与第四位数字之和也是17，所以第四位数字是8。这样，就找到一条规律：从左向右每3位一循环，每隔两位必出现一个相同的数字。
从最末一位数字“6”开始，自右向左，每隔2位出现一个“6”，所以“？”表示的数字应该是“6”。
练习5
1、下面是一个8位数，每3个相邻数字之和都是14，你知道问号表示的数字是几吗？
2、下面是一个11位数，每三个相邻数字之和都是15，你知道问号表示的数是几吗？这个11位数是多少？
例6 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？
分析与解答 一个星期是7天，因此7天为一个周期。10月1日是星期一，是第一个周期的第一天，再过7天即10月8日也是星期一。计算天数时为了方便，我们采用“算尾不算头”的方法，例如10月8日就用（8－1）÷7=1，没有余数说明8号仍是星期一。题中说从2001年10月1日到2002年1月1日，要经过92天，92÷7=13……1，余1天就是从星期一往后数一天，即星期二。
练习6
1．2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？
2．如果今天是星期五，再过80天是星期几？
例7 2007 个2 连乘2×2×……×2，乘积的末位数是几？
分析与解答，跟操作题类似——就不断地乘2。所以从简单的开始找找
规律。只是要注意审题，题目只问末位数。乘积的末位数只跟乘数的末位相关。
练习7
例8 2011 个2 连乘2×2×……×2，乘积的末两位数是几？
解析：同前面的题类似，我们肯定也是去找规律，注意题目问的是末两位，那么就找末两位
的规律。同学们自己试试看，找出规律如下：
02,04,08,16,32,64,28,56,12,24,48,96,92,84,68,36,72,44,88,76,52,04,08,16，……除了第一个02 外，每20 个数为一周期循环。
（2011-1）÷20=100（组）……10（个）
那么应该是48。
练习8
1．某部84集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出1集，星期六停播．问：最后一集在星期几播出?
三、课后作业
1．1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？
2.黑珠、白珠共101颗，穿成一串，排列如下图。这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的,这种颜色的珠子在这串中共有_____颗.
3.按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？
△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……
4. ⑴……（25个4），积的个位数是几？
⑵24个2相乘，积末位数字是几？
5.8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？