作者 | 刘瑞祥
来源 |《数学赏析》
《几何原本》第十卷涉及不可公度量，现有版本一共115个命题，差不多是全书1/4的命题量，又因为原著没有采用现代数学通用的表达式，而是通过文字叙述的，所以给读者理解这一卷造成很大难点。本文就是对其中的部分概念进行小结，希望能帮助大家理解。
其实，这一卷开始的一些命题还是容易理解的，但自从出现有理面、中项面等概念后，就越来越不容易理解了，而且原著里的“有理线段”和现代的有理数也不一样，都给我们理解这一卷带来了难度。另一方面，这一卷和其它各卷还有一个区别，那就是所涉及到的部分定义是分布在许多命题当中的，并没有统一放在一起，这也使我们不容易对比各个定义之间的区别和联系。
在正式开始下面的内容之前还有一个问题需要强调，我们说一个线段是有理还是无理的，都是要针对一定的标准来说的。用一个简单的例子来说，你如果选择正方形边长作为长度标准，那么它的对角线就是现代意义上的无理数，可如果反过来用正方形的对角线为标准，那边长就是现代的无理数了。本文的讨论，都假设已经选好了标准（或者说是单位），这个标准如果用算术语言来说，那就是以1为标准。
一、名词解释
要理解原著中的各个复杂的定义，先要理解下面这些名词，请注意，下面所说的正有理数就是现代数学意义上的正有理数，但有理线和现代的正有理数不同。
有理线：正有理数开二次方的结果，这个结果可能是一个正有理数，比如4开方后为2，也可能还保留根号，如2开方后得根号2；
有理面：正有理数；
中项线：正有理数开四次方的结果，保留四次根号，如四次根号2；
中项面：有理数开平方的结果，保留根号，如根号2；
仅正方可公度：二者本身不可公度，但平方后可公度，如1和根号2、根号3中的任意两个。
表1
其中有理线是有理面的算术平方根，中项线是中项面的算术平方根。
二、各级二项式定义
设二项线可以表示为
，这两部分仅正方可公度，下表中的符号︵表示可公度（为下面讨论的方便起见，我们约定a>b）。余线仅是将加号改为减号。
表2
命题X.48~X.53和X.85~X.90分别做出各级的二项线和余线。
下面给出了二项线和余线的一些例子，表中的一～六是二项线和余线的级，即“一”表示第一二项线或第一余线，“二”表示第二二项线或第二余线，等等。
表3
三、双中项线举例
双中项线有两种，即第一双中项线和第二双中项线，根据其定义(X.37、X.38)可以给出下面的例子，这里的共同点是，其中一个被开方数是另一个被开方数的三次方，不同点则在于，第一双中项线的两项差一个正有理数的系数，而第二双中项线的两项差一个带二次根号的系数：
表4
中项线的第一、二余线仅是将其中的加号改成减号，见命题X.74、X.75。
四、各种无理线段
设下面的各个线段都可以写成x±y的形式，最左一列和最右一列的每个格里上一行对应的x+y，下一行对应的是x-y。注意下表中的xy，其实也可以写成2xy，因为这两者是可公度的嘛。写成2xy的好处是，和x+y连在一起立刻可以看出和完全平方公式有关系，即(x±y)=x±2xy+y。
表5
五、以上线段之间的关系
欧几里得把各种无理线段分成了这么多类型，并不是心血来潮，而是经过深思熟虑的，这就表现在各种无理线段之间的联系上。注意下表的最右列每个格里有两个命题，其中第一个命题说的是原线段经过开方之后得到的算术平方根，第二个命题说的则是对应的逆命题，比如第一二项线开方得到二项线（各级二项线都有可能），而二项线平方得到第一二项线。
表6
又，从表2给出的二项线的例子可以看出，第一、二、四、五二项线都可以看做是有理面和中项面的和，而第三、六二项线则可以看做是两个中项面的和。对照表6可以就理解命题X.71所说的：中项面和有理面相加（开方后）可以产生四个无理线段——二项线、第一双中项线、主线或者中项面有理面的和。而命题X.72则是说，两个中项面相加（开方后）可以产生第二双中项线或者是一个两中项面和的边。其实X.71和X.72就是把表6的内容换了个表达方式。
对于余线来说，则给出了相应的命题X.108、X.109、X.110，分别是：有理面减中项面（开方后）得到余线或者次线；中项面减有理面（开方后）得到中项线的第一余线或有理面中项面差的边；中项面减中项面（开方后）得到中项线的第二余线或两中项面差的边。这只要将表2中各个例子中的加号换成减号，再对应着看表6，就容易明白了。
六、 其它各种部分命题的含义
X.42~X.47、X.79~X.84各命题是这样的：已知前面的各种无理线段（比如二项线、双中项线…乃至余线等等）都可以写成x±y的形式，这些命题给出告诉我们，这些无理线段只能有一种这样的表达式。举例来说，1+根号2等于2.414…，这是一个二项线，X.42告诉我们的就是，只有把这个这个结果分成1和1.414…这样的两部分，这两部分才都是有理线而且仅正方可公度，其它任何方法都不行，比如你把它分成2和0.414…，这样得到的不可能是两个仅正方可公度的有理线。
X.66~X.70、X.103~X.107各命题的意思则是：和哪一类无理线段可公度的，就也是那一类的无理线段。X.112、X.113、X.114讲的是二项线和余线的乘除法，这里就不多说了。（本文共涉及该卷的83个命题，读者可以根据以上内容自行理解其它命题）
《几何原本》
作者：欧几里得
译者：张卜天