导读
1、 作为西学东渐--海外文献推荐系列报告第五十三篇，本文推荐了Valeriy Zakamulin于2015年发表的论文《A Test of Covariance-Matrix Forecasting Methods》。
2、 金融资产收益率协方差矩阵的估计和预测在金融众多领域如资产配置、风险管理等中具有核心地位。目前关于不同协方差矩阵预测方法的比较研究还较少，本篇论文从统计学和实际应用两个角度评估了5种不同方法的优劣，包括滚动历史协方差法、滚动收缩历史协方差法、指数移动平均法（EWMA）、DCC-GARCH模型法以及GO-GARCH模型法。
3、 实证结果表明，基于GARCH模型的两种协方差预测方法表现最好，EWMA方法其次，而滚动历史协方差和滚动收缩历史协方差法表现最差。考虑到EWMA方法的预测准确度已经较高，且相比GARCH模型计算更简单、快速，文章建议实践中选用EWMA方法。总体来说，这篇论文为我们在实践中选择协方差矩阵预测方法提供了重要的依据和参考。
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成，在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。
1、引言
Markowitz [1952]提出的均值方差组合优化框架具有重要的理论意义，但在实践中由于资产期望收益率难以被准确预测而未得到广泛应用。实际上，大多数共同基金经理专注于通过寻找低估值证券来获得潜在的高收益率。
21世纪的第一个10年里市场波动巨大，引起了大家对组合优化特别是基于风险的组合优化技术的兴趣。这些新的基于风险的组合优化方法只需要资产收益率协方差作为模型输入，省去了对资产期望收益率的预测。最流行的组合风险优化方法包括最小方差组合（Clarke等[2006]；Clarke等[2011]）、最大分散化组合（Choueifaty和Coignard[2008]）、风险平价组合（Maillard等[2012]；Chaves等[2011]；Asness等[2012]）以及目标波动率组合（Busse[1999]；Collie等[2011]；Butler和Philbrick[2012]；Albeverio等[2013]）。这些组合优化方法都经过了大量实际历史数据的回测检验，相比均值方差组合和等权组合有更优秀的表现。
协方差矩阵是组合风险优化方法中的核心要素，本文将专注于研究收益率协方差矩阵的预测。我们通常认为资产收益率非常难以预测，而收益率协方差可以通过历史协方差进行预测。一个标准的做法是利用过去5至20年左右的资产月度收益率计算历史协方差并将其作为未来协方差的预测值(Chan[1999]；DeMiguel[2009]；Duchin和Levy[2009]；Kritzman[2010])。不过这种做法只有在协方差矩阵不随时间变动或者变动缓慢的假设下才是有效的。而实际上，很多研究表明金融资产收益率具有异方差性和波动率聚集的特点，资产间收益率相关性也似乎不是一成不变的。图表1给出了美国股票和债券指数的月度收益率波动率和相关系数随时间变动的示意图。我们可以看到，不管是资产波动率还是资产间相关系数都可能在短短几年的时间内出现大幅改变。实际上从2006到2008年，股票市场的波动率水平上升了10倍，债券市场的波动率上升了4倍，它们的相关系数也从0附近变成显著负值。因此，我们在预测协方差矩阵的时候需要考虑到它可能具有时变性。
组合风险优化方法的表现依赖于协方差矩阵预测的准确性，但目前关于不同协方差矩阵预测方法的比较研究还比较少，本文的目标就是通过比较不同预测方法的表现来填补这个空白。我们将从统计学和实际应用两个角度出发来评估不同方法的优劣。具体来说，我们有三种研究方式。第一种研究方式中，我们直接通过样本外预测准确性来评估不同协方差矩阵预测方法的优劣，预测准确性用均方预测误差度量。第二种研究方式中，我们关注不同预测方法在样本外构建最小方差组合的能力，预测准确性用构建的最小方差组合与实际最小方差组合的波动率均方跟踪误差（MSTE）度量。第三种研究方式中，我们关注不同预测方法在样本外构建基于最小方差组合的目标波动率组合的能力，预测准确性用构建的目标波动率组合与实际目标波动率组合的波动率均方跟踪误差（MSTE）度量。
在本文的研究中，我们使用5种不同的方法来滚动预测协方差矩阵，滚动窗口设定为10年。第一种预测方法是实践中最常用的，它直接利用滚动计算的历史协方差矩阵作为对其未来的预测。为了减少预测误差，第二种方法使用了Ledoit and Wolf [2004]提出的协方差收缩估计法。这种方法应用了Stein [1956]率先提出的收缩估计的理念。第三种方法是指数移动平均法（EWMA），这种方法曾因RiskMetrics集团而流行起来。其余两种方法基于多变量广义自回归条件异方差模型(GARCH)而构建。单变量GARCH模型由Blooerslev [1986]首次提出，后来被证明在金融资产收益率的波动率预测方面具有不可替代的地位。不过，由单变量GARCH模型直接推广得到的多变量GARCH模型（如Bollerslev等[1988]提出的VEC-GARCH模型和Engle and Kroner [1995]提出的BEKK-GARCH模型）由于参数过多而难以用来对多个金融资产的波动率变动建模。当资产数量较少时，Pojarliev and Polasek[2001]，[2003]发现使用BEKK-GARCH模型预测协方差矩阵要优于直接使用历史协方差。在本文的研究中，我们主要关注两种适用于大型协方差矩阵估计的新型GARCH模型，分别是Engle[2002]提出的DCC-GARCH模型和Weide[2002]提出的GO-GARCH模型。
为了保证本文结论不依赖于特定数据，我们选取9个不同数据集分别进行实证，每个数据集中都包含若干种不同资产的历史收益率序列。为了保证研究结论不依赖于特定历史时间段，我们选取的样本外预测区间为1995年1月至2013年12月，覆盖了平稳和动荡的不同市场环境。
最后我们发现，相比于历史估计法，收缩估计法没能减少协方差的预测误差和最小方差组合的跟踪误差。而两种多元GARCH模型表现优异，它们对协方差的预测误差和最小方差组合的跟踪误差比历史估计法低50%以上。另外，指数移动平均方法表现也较好，仅略差于GARCH模型的表现。
本文剩余部分的组织方式如下：在本文第二部分，我们将介绍实证数据的构成、最小方差组合的构建方法以及5种协方差矩阵预测方法；第三部分将展示本文的实证结果；第四部分给出本文的结论。
2、数据与方法说明
2.1
数据说明
本文共使用了9个数据集，它们与DeMiguel等[2009]和Kritzman等[2010]的研究中使用的数据类似（见图表2）。前8个数据集均来自Kenneth French的数据库，其中每组数据都代表了通过某种方式构建的市值加权组合。举例来说，基于市值的数据集包括了10个市值从大到小排序的股票组合。这些组合的构建基于NYSE提供的市值分界点和每年6月底的股票市值。再举另外一个例子，基于行业的数据集中包含了美国10个行业组合的收益率数据，包括非耐用消费品、耐用消费品、制造业、能源、高科技、通讯、零售、健康、公用事业和其他行业。第9个数据集来自Thomson Reuters Datastream数据库，包括了7种不同的主要资产类别（见图表3）。所有9个数据集均包含了从1986年1月1日到2013年12月31日的日度数据。另外，我们使用Kenneth French数据库提供的美国90天国债名义收益率作为无风险收益率。
2.2
最小方差组合
2.3
协方差预测方法
2.3.1、滚动历史协方差
2.3.2、滚动收缩历史协方差
2.3.3、指数移动平均法（EWMA）
2.3.4、DCC-GARCH模型
2.3.5、GO-GARCH模型
3、不同协方差预测方法的实证分析
在这一部分，我们通过三种研究方法来评估不同协方差矩阵预测方法的表现。第一种研究方法中，我们直接用样本外预测准确性来衡量不同协方差预测方法的优劣，预测准确性用协方差均方预测误差度量。第二三种研究方法从实际应用的角度评估不同协方差矩阵预测方法的表现。在第二种研究方法中，我们关注不同预测方法在样本外构建最小方差组合的能力。在第三种研究方法中，我们关注不同预测方法在样本外构建基于最小方差组合的目标波动率组合的能力。
我们对资产收益率的月度协方差矩阵进行滚动的样本外预测，设定回看期为L=120个月。具体来说，为了预测第m个月的协方差矩阵，我们对m-1个月底之前120个月的日度收益率数据进行建模。在这种设定下，我们的第一个样本内训练区间是1986年1月1日到1994年12月31日，从而本文的样本外预测区间是1995年1月1日到2013年12月31日。
3.1
协方差矩阵的预测
3.2
最小方差组合的构建
3.3
基于最小方差组合的目标波动率组合构建
4、结论
本文的研究表明不同协方差预测方法表现差异巨大，基于多元GARCH模型的预测方法可以提供比滚动历史协方差法更好的效果。具体来说，我们的研究表明基于GARCH的预测模型比滚动历史法降低了50%的协方差预测误差，同时它在组合风险优化和组合跟踪误差优化上也是表现最优的模型。相比用历史协方差矩阵来构建最小风险组合，基于多元GARCH模型的方法可以减少50%的组合跟踪误差，将其用于构建基于最小方差组合的目标波动率组合也能得到类似的效果。在我们测试的两种多元GARCH模型DCC-GARCH和GO-GARCH中，DCC-GARCH模型的表现要稍好一些。
很多人印象中觉得相比于历史估计法，使用收缩估计法可以更准确的预测协方差，但是Disatnik和Benninga[2007]的研究表明这是个错误的观念。本文的研究也再次验证了使用计算复杂的收缩估计法既不能减少协方差预测误差，也不能降低最小方差组合的跟踪误差。另外，我们发现简单的指数移动平均法（EWMA）的预测效果相比基于GARCH模型的方法只有微小的劣势。因此在实际应用中我们建议如果觉得GARCH模型过于复杂，完全可以使用方法简单、计算快速的指数移动平均法（EWMA）。
5、参考文献
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风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成， 在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。
注：文中报告节选自兴业证券经济与金融研究院已公开发布研究报告，具体报告内容及相关风险提示等详见完整版报告。
证券研究报告：《西学东渐--海外文献推荐系列之五十三》。
对外发布时间：2019年12月05日
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分析师：徐寅
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