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13.5 曲面面积和曲面积分计算曲面积分的技巧是要将其转换成平面区域的二重积分.
曲面面积观察下图曲面 S 以及它的垂直投影.
将所有小平面分割近似所有的小区面, 这样就构成了曲面 S , 因此其和式就是曲面 S 面积的一个近似, 而不断的细分 R 后, 即为下面二重积分的近似.
观察下面小切面近似曲面的动画:
曲面积分(Surface Integrals)即第一类曲面积分, 利用上面计算曲面面积的思想:
定向(Orientation)称光滑曲面 S 可定向或是双侧的.
下图的莫比乌斯带不是可定向的. 当一个单位法向量移动一圈后, n 的方向刚好与出发方向相反.
曲面积分求通量(Surface Integral for Flux)也就是第二类曲面积分. 假设曲面 S 在 F 向量场中, n 为曲面某点处的单位法向量, 则 F 沿正向穿过曲面的通量为 F⋅n 在 S 上的积分.