密码学已经有数千年的历史，无论是在战争中，还是现在的全球互联网都起着重要的作用。密码学的神奇故事包含着两大古老的领域——数论和概率论。
对于本文所讨论的主题——同余运算就属于数论中的一个重要概念。从孙子问题到凯撒密码，再到 RSA 密钥，同余运算在这些经典的密码问题中也发挥着至关重要的作用。
什么是同余运算当我们把两个整数 A, B 相除时(B ≠ 0)，往往会得到下列等式
这里 A 为被除数(dividend)，B 为除数(divisor)，Q 为商(quotient)，R 为余数(remainder)。
有时，当我们在做 A 除 B 的运算时，我们只关心余数 R 的取值情况(当余数为 0 时，被称为整除)。人们定义计算余数的计算为为取模运算(modulo operator)，称为模（记为 mod），这样我们就得到了等式：
这个时候，我们说 A 模 B 与 R 相等，B 被称作模数(modulus)。
例如：
为了更清楚地看到模是怎样运算的，我们取 [0,11] 这个区间内的整数，并将它们都除以 3，观察余数的变化情况：
我们可以看到余数从 0 开始，每次增长 1，直到接近除数为止。所以，在这个过程当中，余数是循环的。我们不妨把所有余数围成一个圆，随着被除数的不断增长，其余数则是在这个圆里循环。
图 1
这个过程和我们钟表的原理是一样的，人们将一天分为二个以十二小时计算的单位。在 12 点时就会归为 0 ，即钟表实际上是由模数为 12 的模算数。从表盘读取时间其实就是同余运算的过程。例如，我们在说 18 点时，很容易就可以想到是下午 6 点，因为这个时候时针从 0 点开始走过了 18 个数字，那么我们可以从图上看到，指针最后停到了 6 点。
图 2
如果用数学公式来表达这一过程，那就是
18 ÷ 12 = 1... 6
由于此时我们只关心余数的取值，所以利用‘模’这个式子同样也可以写为18mod 12=6
因此，当我们计算 Amod B 时，可以遵循以下步骤：
将钟表的结构调整为 B 个数字从 0 开始，移动 A 个数字最后我们所在的地方就是我们的答案: 余数 R当然，如果 A 是正数我们就按顺时针方向移动，如果是负数，则按逆时针方向移动。
试想，如果我们以 B 的整数倍来增大 A，那么我们的终点将会是相同的。即对于任意的 K 有
例如，
- 3 mod 10=3
- 13 mod 10=3
- 23 mod 10=3
- 33 mod 10=3
图 3
同余如果 A 与 B 除以 C 有相同的余数，那么我们可以表达为
这个时候，我们可以称 A 与 Bmod C 是同余(congruence modulo)。为了更好的了解同余的这一概念，我们先来看一下所有整数模 5 的情况：
从上图我们可以看到，我们把整数分为 5 个区域，分别标注为 0，1，2，3，4。而后，根据同余运算把所有的整数都放入 5 个区域当中。
我们可以把这些区域想象成装着一堆数字的袋子，举个例子，26 应该是在标注为 1 的袋子中，因为 26mod 5=1。
从上图中我们可以看到，1、6、11、16、21 同样也在这个袋子里。我们把这些在一个袋子里的数字称作是一个等价类(Equivalence class)。
我们还可以观察到，在这个等价类中数与数之间相差的都是 5 的整数倍。就是说，如果我们要把所有整数模 C，那么将会得到 C 个袋子，每一个袋子中的数都差 C 的整数倍。
在数学上，我们就用 A ≡ B(mod C) 来表示在这个情况，并读作 A 同余于Bmod C。在这个表达中，我们要注意：
1. ≡ 是一个表示相同的、等价的符号。即 A 和 B 在一个等价类中。
2. (mod C)告诉我们 A 和 B 要除的数。
3. 当以上两种情况都满足时，我们称“≡”为模 C 的同余
等价关系从上面模 5 的例子可以看出，我们把所有的整数看成一个圆饼，通过模运算将其切成了五份，分为了五个等价类，对于这种告诉我们如何分出等价类的方法，我们称为等价关系(Equivalence relation)。
等价关系有三种性质：
- 自反性(Reflexivity)：A 与 A 有关。
- 对称性(Symmetry)：若 A 与 B 有关，那么 B 与 A 有关。
- 传递性(ransitivity)：若 A 与 B 有关，B 与 C 有关,则 A 与 C 有关。
由于同余运算也是等价关系，所以也就满足这三条性质，比如：
- 3 ≡ 3(mod 5) (自反性)
- 若 3 ≡ 8(mod 5)，那么 8 ≡ 3(mod 5) (对称性)
- 若 3 ≡ 8(mod 5)，且 8 ≡ 18(mod 5)，那么 3 ≡ 18(mod 5) (传递性)
利用这三条性质，可以帮助我们完成很多模的运算。
数与数之间存在加减法运算，那么模与模之间是否存在类似的呢？如果存在，这将更方便于我们的计算。
我们不妨假设模之间的运算是这样的过程：
我们先来尝试用一个例子来验证下，假设 A=12,B=9,C=7。
那么我们得到，等式的左边 (12+9)mod 7=0，等式的右边 (12mod 7+9mod 7)mod 7=0。
因此，从这个例子来看，这个等式是成立的。
但是，这个等式为什么成立，它又是怎样运作的呢？我们在图形上更直观的角度来观察一下
从上图我们可以看出，只要是围绕圆的完整环就不影响终点的位置，通过先计算 mod 7 可以帮助我们忽略围绕圆的完整步数。通过加法运算，使得他们从 0 开始，顺时针移动。
对于减法运算，我们只需要将 B 取为负数，直观上，相减就视为逆时针地移动，公式如下：
(第一部分完)